引言
正方形作为几何图形中的基本形状，在中考数学压轴题中经常出现。掌握正方形的相关性质和解题模型，对于解决这类题目至关重要。本文将详细解析正方形五大解题模型，帮助考生轻松破解几何难题。
一、对称全等模型
模型特点
- 以角平分线为轴，在角两边进行截长补短或作边的垂线，形成对称全等。
- 两边进行边或角的等量代换，产生联系。
应用实例
- 题目：已知正方形ABCD，E为AD上的一点，AE=2AD，求证：BE=CD。
- 解答：作EF⊥AD于F，连接BF。由于ABCD是正方形，∠B=90°，∠EAF=45°。由于AE=2AD，∠EAF=∠BAF。根据角平分线定理，BF=CD。由于BE=BF+FD，而FD=AD，故BE=CD。
二、对称半角模型
模型特点
- 上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
应用实例
- 题目：已知正方形ABCD，E为CD上的一点，AE=AB，求证：∠DAE=45°。
- 解答：作EF⊥AD于F，连接BF。由于ABCD是正方形，∠B=90°，∠EAF=45°。由于AE=AB，∠EAF=∠BAF。根据角平分线定理，BF=CD。由于∠DAE=∠BAF+∠ABF，而∠ABF=45°，故∠DAE=45°。
三、旋转全等模型
模型特点
- 半角：有一个角含1/2角及相邻线段。
- 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等。
- 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等。
- 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
应用实例
- 题目：已知正方形ABCD，E为CD上的一点，AE=AB，求证：BE=CD。
- 解答：作EF⊥AD于F，连接BF。由于ABCD是正方形，∠B=90°，∠EAF=45°。由于AE=AB，∠EAF=∠BAF。根据角平分线定理，BF=CD。由于BE=BF+FD，而FD=AD，故BE=CD。
四、旋转半角模型
模型特点
- 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
应用实例
- 题目：已知正方形ABCD，E为CD上的一点，AE=AB，求证：∠DAE=45°。
- 解答：作EF⊥AD于F，连接BF。由于ABCD是正方形，∠B=90°，∠EAF=45°。由于AE=AB，∠EAF=∠BAF。根据角平分线定理，BF=CD。由于∠DAE=∠BAF+∠ABF，而∠ABF=45°，故∠DAE=45°。
五、中点旋转模型
模型特点
- 两个正方形、两个等腰直角三角形或一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点。
应用实例
- 题目：已知正方形ABCD，E为CD上的一点，AE=AB，求证：BE=CD。
- 解答：作EF⊥AD于F，连接BF。由于ABCD是正方形，∠B=90°，∠EAF=45°。由于AE=AB，∠EAF=∠BAF。根据角平分线定理，BF=CD。由于BE=BF+FD，而FD=AD，故BE=CD。
总结
掌握正方形五大解题模型，可以帮助考生轻松应对中考数学压轴题。在解题过程中，考生需灵活运用这些模型，结合具体题目进行分析，从而得出正确答案。