初一几何难题：四大模型破解相交与平行之谜

几何学是数学中的一个重要分支，它研究形状、大小、相对位置以及空间属性。在初中的几何学习中，相交与平行线的概念是基础且重要的。为了帮助学生更好地理解和解决相关的几何难题，以下将详细介绍四种常见的平行线模型，并运用这些模型来破解相交与平行之谜。

一、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行。然而，由于直线无限延伸，直接检验它们是否相交有困难。因此，我们需要一些简单易行的判定方法来判断两条直线是否平行。

1. 同位角相等，两直线平行：当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
2. 内错角相等，两直线平行：当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
3. 同旁内角互补，两直线平行：当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
4. 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

二、平行线的性质

已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质。

1. 同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2. 内错角相等：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3. 同旁内角互补：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

三、平行线四大模型

1. 铅笔头模型：如图，点P在EF右侧，在AB上作PD垂直于EF，在CD上作PE垂直于EF，连接AD和BC。则AD平行于BC。

2. M型模型：如图，条件：MANCABCAB，证明：过点B作PDMA，MANCPQ，ABQA，CBQC，ABCAC。

3. 鸡翅模型：如图，条件：MANCA-CB，证明：过点B作PQ//MA，则MANCPQ，MANCPQ，ABQA，CBQC，BABQ-CBQ，A-CB。

4. 折鸡翅模型：如图，条件：MANCACZB，证明：过点B作PQMA，则MANC//PQ，MANCPQ，ABQA，CBQC，ABCABQ-CBQ，AACBC。

四、应用实例

例1：如图1，已知ABCD，PBA125，PCD155，求BPC的度数。

解：易证：ABPBPCDCP360°，由PBA125，PCD155，可求得BPC80°。

例2：如图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，ACB90°，DFCG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记PED，PAC。

（1）如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出APE与PED之间的数量关系。

（2）如图3，当点P在B，D两点之间运动时，APE与PED之间有何数量关系？请判断并说明理由。

简析：（1）易证：ABPBPCDCP360°，由PBA125，PCD155，可求得BPC80°。

（2）过点P作PHFD，PHFD，EPH，PHFD，GCFD，PHGC，APH，而EPAEPHAPH，故EPA。

通过以上四大模型的应用，我们可以有效地解决初一几何中关于相交与平行线的难题。熟练掌握这些模型，有助于提高解题效率和准确性。