外接球是空间几何中一个重要的概念，特别是在研究旋转体和多面体时。高途课堂高中数学教研产品中心针对外接球的解题技巧，总结出了八大模型，以下是对这些模型的详细解析。
一、外接球概念概述
外接球指的是一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义。广义上理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球面上。正多面体各顶点同在一球面上，这个球称为正多面体的外接球。内切球则是球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球。
二、外接球八大模型详解
1. 汉堡模型
适用于圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直底面的棱锥。
- 步骤：找底面外接圆半径( r )，找高( h )。
- 公式：( r = \sqrt{\frac{2}{3} h} )。
2. 斗笠模型
适用于圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥（正棱锥）。
- 步骤：找底面外接圆半径( r )，找高( h )。
- 公式：( r = \frac{h}{\sqrt{2}} )。
3. 墙角模型
适用于三组线线垂直型三棱锥。
- 步骤：先补成长方体，再找锥，找长方体的长宽高：( a, b, c )。
- 公式：( r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{12}} )。
4. 麻花模型
适用于对棱长相等的三棱锥。
- 步骤：先补成长方体，再找锥，找长方体的三类面对角线：( x, y, z )。
- 公式：( r = \sqrt{\frac{2(x^2 + y^2 + z^2)}{9}} )。
5. 怀表模型
适用于两全等等腰三角形折叠式棱锥。
- 步骤：找等腰三角形底边上的高( h )，找外接圆半径( r )，找二面角( \theta )。
- 公式：( r = \frac{h}{\tan(\frac{\theta}{2})} )。
6. “rl”模型
适用于面面垂直型棱锥。
- 步骤：找两个面外接圆半径( r_1, r_2 )，找面面交线( l )。
- 公式：( r = \sqrt{\frac{r_1^2 + r_2^2 + l^2}{4}} )。
7. 鳄鱼模型
适用于普通三棱锥。
- 步骤：找两面外接圆圆心到交线的距离( m, n )，找二面角( \theta )，找面面交线( l )。
- 公式：( r = \frac{m \cdot n}{\cos(\theta)} )。
8. “cossi”模型
适用于两全等等腰三角形折叠式棱锥。
- 步骤：找等腰三角形底边上的高( h )，找外接圆半径( r )，找二面角( \theta )。
- 公式：( r = \frac{h}{\sin(\theta)} )。
三、总结
掌握这些外接球模型，可以帮助你在解题时更加高效地找到答案。通过对每个模型的步骤和公式的熟悉，相信你在面对空间几何问题时会更加得心应手。