模型一：角平分线垂两边模型
概述
角平分线垂两边模型是指在一个角的两边上分别作垂线，垂足位于角平分线上。这个模型利用了角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等。
应用
- 构造等腰三角形：在角平分线上任取一点，向角的两边作垂线，可以构造出两个等腰三角形。
- 证明边角关系：利用角平分线的性质，可以证明两边的长度相等，或者两角的大小相等。
例子
假设在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E和F分别是AD在AB和AC上的垂足。
证明：AB = AC
证明过程：
- 由角平分线性质，AD是角BAC的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
- 因为E和F分别是AD在AB和AC上的垂足，所以∠AEB = ∠AFD = 90°。
- 在直角三角形AEB和AFD中，由于∠BAD = ∠CAD，且∠AEB = ∠AFD，根据角角边（AAS）全等条件，得到三角形AEB ≌ 三角形AFD。
- 因此，AB = AF，AC = AE，所以AB = AC。
模型二：角平分线垂中间模型
概述
角平分线垂中间模型是指角平分线上的垂线垂直于角的顶点，从而构造出等腰三角形。
应用
- 构造等腰三角形：利用角平分线上的垂线，可以构造出等腰三角形。
- 证明边角关系：利用等腰三角形的性质，可以证明两边的长度相等，或者两角的大小相等。
例子
假设在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，D是垂足。
证明：AB = AC
证明过程：
- 由角平分线性质，AD是角BAC的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
- 因为D是垂足，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。
- 在直角三角形ADB和ADC中，由于∠BAD = ∠CAD，且∠ADB = ∠ADC，根据角角边（AAS）全等条件，得到三角形ADB ≌ 三角形ADC。
- 因此，AB = AC。
模型三：角平分线平行线模型
概述
角平分线平行线模型是指通过角平分线上的一点，作角一边的平行线，从而构造出等腰三角形。
应用
- 构造等腰三角形：利用角平分线上的平行线，可以构造出等腰三角形。
- 证明边角关系：利用等腰三角形的性质，可以证明两边的长度相等，或者两角的大小相等。
例子
假设在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，P是AD上的任意一点，过P作PB平行于AC。
证明：AB = BC
证明过程：
- 由角平分线性质，AD是角BAC的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
- 因为PB平行于AC，所以∠APB = ∠ACB。
- 在三角形APB和ACB中，由于∠BAD = ∠CAD，且∠APB = ∠ACB，根据角角边（AAS）全等条件，得到三角形APB ≌ 三角形ACB。
- 因此，AB = BC。
模型四：利用角平分线作对称模型
概述
利用角平分线作对称模型是指利用角平分线的对称性，构造出对称全等三角形。
应用
- 构造对称全等三角形：利用角平分线的对称性，可以构造出对称全等三角形。
- 证明边角关系：利用对称全等三角形的性质，可以证明两边的长度相等，或者两角的大小相等。
例子
假设在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，P是AD上的任意一点，过P作PB垂直于AC。
证明：AP = CP
证明过程：
- 由角平分线性质，AD是角BAC的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
- 因为PB垂直于AC，所以∠APB = 90°。
- 在直角三角形APB和CPB中，由于∠BAD = ∠CAD，且∠APB = ∠CPB，根据角角边（AAS）全等条件，得到三角形APB ≌ 三角形CPB。
- 因此，AP = CP。
模型五：内外角模型
概述
内外角模型是指利用角平分线将角分为两个内角和一个外角，从而构造出特殊三角形。
应用
- 构造特殊三角形：利用角平分线，可以构造出特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形等。
- 证明边角关系：利用特殊三角形的性质，可以证明两边的长度相等，或者两角的大小相等。
例子
假设在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E和F分别是AD在AB和AC上的外角平分线。
证明：AE = CF
证明过程：
- 由角平分线性质，AD是角BAC的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
- 因为E和F分别是AD在AB和AC上的外角平分线，所以∠BAE = ∠CAF。
- 在三角形ABE和ACF中，由于∠BAD = ∠CAD，且∠BAE = ∠CAF，根据角角边（AAS）全等条件，得到三角形ABE ≌ 三角形ACF。
- 因此，AE = CF。