模型一：角平分线上的点向两边作垂线
概述
在初中几何中，角平分线是一个重要的概念。角平分线上的点到角的两边距离相等，这一性质可以用来构造模型，为证明边相等、角相等、三角形全等创造条件。这种模型在解题中可以快速找到突破口。
模型分析
- 角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。
- 构造模型：利用上述性质，构造边相等、角相等、三角形全等的模型。
应用实例
- 例1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，求点D到直线AB的距离。
- 解答：利用角平分线性质，点D到AB的距离等于点D到AC和BC的距离，即等于BD。
模型二：截取构造对称全等
概述
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。这种模型是解题技巧中常用的一种。
模型分析
- 角平分线对称性：角平分线将角分成两个相等的部分。
- 构造对称全等三角形：利用对称性，构造对称全等三角形。
应用实例
- 例2：在三角形ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，比较PB和PC与AB和AC的大小，并说明理由。
- 解答：利用对称性，可以构造出对称全等三角形，从而比较对应边和角的大小。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
概述
利用角平分线垂线构造等腰三角形，可以通过等腰三角形的三线合一性质，得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
模型分析
- 等腰三角形三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
- 构造等腰三角形：利用角平分线垂线构造等腰三角形。
应用实例
- 例3：在三角形ABC中，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，求证：ABCD是等腰三角形。
- 解答：利用等腰三角形三线合一性质，可以证明ABCD是等腰三角形。
模型四：角平分线平行线
概述
当有角平分线时，常过角平分线上一点作角一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多条件。
模型分析
- 角平分线与平行线：角平分线与平行线相结合，可以构造等腰三角形。
- 构造等腰三角形：利用角平分线和平行线构造等腰三角形。
应用实例
- 例4：在三角形ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE平行于BC，求证：∠ADE=∠ABC。
- 解答：利用角平分线和平行线构造等腰三角形，可以证明∠ADE=∠ABC。
通过以上四大模型的学习和应用，可以有效地解决几何问题，提升解题技能。在实际解题过程中，要根据具体问题选择合适的模型，灵活运用，以达到最佳解题效果。