平面几何是数学中一个重要的分支，其中求解角度是基础且常见的问题。掌握五大模型，可以帮助我们轻松解决各种角度求解问题。以下是五大模型及其应用方法的详细介绍。
一、等积变换模型
模型原理
等积变换模型基于两个三角形高相等时，面积之比等于对应底边之比。
应用方法
- 确定两个三角形的高相等。
- 计算面积之比。
- 根据面积之比，求出对应底边的比例。
- 利用比例关系求解角度。
例子
在三角形ABC中，若BE=3AE，且三角形ADE的面积为1平方厘米，求三角形ABC的面积。
解答： 连接BD，由于SABD和SAED同高，面积比为底边比，即SABD/SADE = BD/DE。已知SADE=1，BD=3AE，设DE=x，则BD=3x。由于SABD/SADE = BD/DE，得到SABD/SADE = 3x/x = 3，所以SABD=3。由于SABD和SABC同高，面积比为底边比，即SABD/SABC = BD/AC。设AC=y，则SABC=SABD/BD*AC=3/y。由于SABC=3SABD，得到3/y=3，解得y=1。因此，三角形ABC的面积为1平方厘米。
二、鸟头定理（共角定理）
模型原理
鸟头定理指出，两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
应用方法
- 确定两个共角三角形。
- 计算对应角的两夹边乘积之比。
- 根据乘积之比，求出面积之比。
- 利用面积之比求解角度。
例子
在四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积为5，三角形DOC的面积为4，三角形AOB的面积为15，求三角形BOC的面积。
解答： 由于SADO/SDOC = 5/4，根据鸟头定理，得到SADO/SDOC = AO/OC。设AO=5m，OC=4m，则SADO=5*4m^2=20m^2，SDOC=4*4m^2=16m^2。同理，由于SAOB/SBOC = AO/OC，得到SAOB/SBOC = 5m/4m = 5/4。设SBOC=x，则SAOB=15-x。由于SAOB/SBOC = 5/4，得到(15-x)/x = 5/4，解得x=12。因此，三角形BOC的面积为12平方厘米。
三、蝴蝶定理
模型原理
蝴蝶定理指出，任意四边形中的比例关系：S1/S2 = S4/S3 或者 S1S3 = S2S4。
应用方法
- 确定四边形中的比例关系。
- 计算面积之比。
- 根据面积之比，求出对应对角线的比例。
- 利用比例关系求解角度。
例子
在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6，求∠A和∠B的度数。
解答： 由于SABD/SADC = AB/CD，得到SABD/SADC = 3/5。设SABD=3x，SADC=5x，则SABC=SABD+SDAC=3x+5x=8x，SBCD=SBCD-SADC=15x-5x=10x。由于SABD/SADC = SABC/SBCD，得到3x/5x = 8x/10x，解得x=2。因此，SABD=6，SADC=10，SABC=16，SBCD=20。由于SABD/SADC = AB/CD，得到6/10 = 3/5，即∠A和∠B的度数相等。设∠A=∠B=x，则∠C=180°-2x。由于三角形ABC的内角和为180°，得到x+x+180°-2x=180°，解得x=60°。因此，∠A和∠B的度数为60°。
四、相似三角形性质
模型原理
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
应用方法
- 确定两个相似三角形。
- 计算对应线段的长度比。
- 根据长度比，求出角度比。
- 利用角度比求解角度。
例子
在三角形ABC和三角形A’B’C’中，AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，求∠A和∠A’的度数。
解答： 由于AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，得到三角形ABC和三角形A’B’C’相似。由于相似三角形的一切对应线段的长度成比例，得到∠A=∠A’。设∠A=∠A’=x，则∠B=180°-2x。由于三角形ABC的内角和为180°，得到x+x+180°-2x=180°，解得x=60°。因此，∠A和∠A’的度数为60°。
五、燕尾定理
模型原理
燕尾定理指出，在三角形ABC中，若BE=3AE，CD=2AD，则∠BAC=∠BAD+∠CAD。
应用方法
- 确定三角形ABC中的线段关系。
- 根据燕尾定理，求出角度关系。
- 利用角度关系求解角度。
例子
在三角形ABC中，BE=3AE，CD=2AD，求∠BAC的度数。
解答： 由于BE=3AE，CD=2AD，根据燕尾定理，得到∠BAC=∠BAD+∠CAD。设∠BAD=x，∠CAD=y，则∠BAC=x+y。由于三角形ABC的内角和为180°，得到x+y+x+y=180°，解得x+y=90°。因此，∠BAC的度数为90°。
通过以上五大模型的应用，我们可以轻松解决各种角度求解问题。在实际解题过程中，根据题目条件和已知信息，选择合适的模型进行求解，相信你一定能够取得好成绩。