一、外接圆与内接圆的定义
外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。通常针对凸多边形，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
内切圆：也通常针对凸多边形，如三角形，若一个圆恰好和三角形的三边相切，这个圆就叫作三角形的内切圆，此时圆正好在三角形内部。
二、三角形的外接圆与内切圆
1. 外接圆
三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。外接圆的半径等于从圆心到三角形顶点的距离。
- 锐角三角形外心在三角形内部；
- 直角三角形外心在三角形斜边中点上；
- 钝角三角形外心在三角形外。
2. 内切圆
三角形的内切圆圆心是三角形三个角的角平分线的交点。内切圆的半径等于从圆心到三角形各边的距离。
三、四边形的外接圆与内切圆
1. 外接圆
四边形的外接圆圆心是四边形对角线交点。外接圆的半径等于从圆心到四边形顶点的距离。
2. 内切圆
四边形的内切圆圆心是四边形各边的中垂线的交点。内切圆的半径等于从圆心到四边形各边的距离。
四、正多边形的外接圆与内切圆
1. 外接圆
正多边形的外接圆圆心是正多边形的中心。外接圆的半径等于从圆心到正多边形顶点的距离。
2. 内切圆
正多边形的内切圆圆心是正多边形的中心。内切圆的半径等于从圆心到正多边形顶点的距离。
五、圆内接正多边形
圆内接正多边形指顶点都在同一圆周上的正多边形。正多边形总内接于圆，故称为圆内接正多边形，该圆称为正多边形的外接圆。
六、七大模型破解几何奥秘
- 内切圆模型：通过内切圆的性质，解决与多边形内切圆相关的问题。
- 外接圆模型：通过外接圆的性质，解决与多边形外接圆相关的问题。
- 三角形内切圆模型：利用三角形内切圆的性质，解决与三角形内切圆相关的问题。
- 三角形外接圆模型：利用三角形外接圆的性质，解决与三角形外接圆相关的问题。
- 四边形内切圆模型：利用四边形内切圆的性质，解决与四边形内切圆相关的问题。
- 四边形外接圆模型：利用四边形外接圆的性质，解决与四边形外接圆相关的问题。
- 正多边形内切圆模型：利用正多边形内切圆的性质，解决与正多边形内切圆相关的问题。
通过以上七大模型，我们可以更好地理解和解决与圆的内接圆和外接圆相关的问题，从而破解几何奥秘。