圆周运动是物理学中一个基本且重要的概念，广泛应用于日常生活、工程技术以及天体运动等领域。在高中物理学习中，圆周运动通常涉及三大经典模型：圆筒模型、传动装置模型和天体运行模型。以下将详细解析这三大模型。
一、圆筒模型
1.1 模型概述
圆筒模型描述了物体在圆筒内壁上随圆筒一起做匀速圆周运动的情况。在这个模型中，物体受到重力、静摩擦力、支持力等力的作用。
1.2 模型规律
- 物体随圆筒一起做匀速圆周运动时，受到重力、静摩擦力、支持力，其中支持力充当向心力，重力和静摩擦力等大反向相互抵消。
- 满足方程：( F{\text{向心}} = m \cdot a{\text{向心}} = \frac{m \cdot v^2}{r} )，其中 ( m ) 为物体质量，( v ) 为线速度，( r ) 为圆筒半径。
1.3 应用实例
1.3.1 经典例题
- 圆筒内半径为 ( r ) 的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴 ( OO ) 转动，小物体 ( a ) 在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为 ( \mu )。要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为多少？
- 解答：根据牛顿第二定律，向心力等于物体质量与向心加速度的乘积。即 ( F{\text{向心}} = m \cdot a{\text{向心}} = m \cdot \frac{v^2}{r} )。物体不下落的条件是向心力大于等于重力，即 ( m \cdot \frac{v^2}{r} \geq m \cdot g )。由此可得，角速度 ( \omega = \frac{v}{r} \geq \sqrt{gr} )。
1.3.2 相关练习题
- 画出随圆筒一起做匀速圆周运动的小球的受力示意图。
- 一个无底的圆桶，放在光滑的水平面上，桶内壁粗糙。将一个小球沿桶内壁的方向以初动能 ( E_0 ) 水平射出，小球沿桶壁运动，刚好运动一圈停止。如果将小球的初动能增加到原来的2倍，初速度的方向不变，则小球在桶内运动的圈数为多少？
- 解答：小球在桶壁上运动的过程中，其能量守恒。设桶壁的半径为 ( R )，则有 ( \frac{1}{2}mv^2 = mgh )，其中 ( h ) 为小球在桶壁上运动的高度。由于小球刚好运动一圈停止，所以 ( h = R )。因此，小球在桶壁上运动的高度不变，所以运动的圈数也不变。
二、传动装置模型
2.1 模型概述
传动装置模型描述了利用齿轮、皮带等元件进行动力传递的装置。在这个模型中，传动装置的各物理量之间存在一定的关系。
2.2 模型规律
- 传动装置上大小相同的量：同轮或同轴不同轮上各点的角速度、周期、转速相同；与皮带相连的或直接接触的轮子边缘的线速度大小相同。
- 通过各物理量间的关系式结合已知的量的关系确定其他未知量的关系，常用的关系式为：( v = r \cdot \omega )，其中 ( v ) 为线速度，( r ) 为半径，( \omega ) 为角速度。
2.3 应用实例
2.3.1 经典例题
- 三个轮的半径分别为 ( r_1 )、( r_2 )、( r_3 )，点 ( A ) 到圆心的距离为 ( d )。求图中 ( A )、( B )、( C )、( D ) 各点的线速度之比、角速度之比。
- 解答：根据传动装置模型，线速度之比为 ( v_A:v_B:v_C:v_D = r_1:r_2:r_3:d )，角速度之比为 ( \omega_A:\omega_B:\omega_C:\omega_D = \frac{v_A}{r_1}:\frac{v_B}{r_2}:\frac{v_C}{r_3}:\frac{v_D}{d} )。
2.3.2 相关练习题
- 皮带传动装置中，主动轮1的半径与从动轮2的半径之比 ( R_1:R_2 = 2:1 )，A、B 分别是两轮边缘上的点。假设皮带不打滑，则下列说法正确的是？
- 解答：根据传动装置模型，线速度之比为 ( v_A:v_B = R_1:R_2 = 2:1 )，角速度之比为 ( \omega_A:\omega_B = \frac{v_A}{R_1}:\frac{v_B}{R_2} = 1:2 )。因此，正确答案为 B。
三、天体运行模型
3.1 模型概述
天体运行模型描述了天体绕中心天体做匀速圆周运动的情况。在这个模型中，天体受到万有引力的作用。
3.2 模型规律
- 天体绕中心天体做匀速圆周运动时，受到万有引力的作用，万有引力提供向心力。
- 满足方程：( F_{\text{向心}} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = m1 \cdot a{\text{向心}} )，其中 ( G ) 为万有引力常数，( m_1 ) 和 ( m_2 ) 分别为两个天体的质量，( r ) 为两天体之间的距离。
3.3 应用实例
3.3.1 经典例题
- 双星系统中两个星球 ( A )、( B ) 的质量都是 ( m )，相距 ( L )，它们正围绕两者连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。实际观测该系统的周期 ( T ) 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 ( T_0 )，且 ( T < k \cdot T_0 ) (其中 ( k < 1 ))。于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球 ( C ) 的影响，并认为 ( C ) 位于 ( A )、( B ) 的连线正中间，相对 ( A )、( B ) 静止。则 ( A )、( B ) 组成的双星系统周期理论值 ( T_0 ) 及 ( C ) 的质量分别为多少？
- 解答：根据天体运行模型，双星系统的周期 ( T ) 与 ( A )、( B ) 的质量 ( m ) 和距离 ( L ) 有关。设 ( C ) 的质量为 ( m_C )，则有 ( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L^3}{G(m_A + m_B)}} )。根据题意，( T < k \cdot T_0 )，所以 ( m_C = \frac{G(m_A + m_B)}{L^3} \cdot (1 - k^2) )。
3.3.2 相关练习题
- 卫星做圆周运动，由于大气阻力的作用，其轨道的高度将逐渐变化。下述关于卫星运动的一些物理量的变化情况正确的是？
- 解答：卫星做圆周运动时，其轨道高度的变化与大气阻力有关。当轨道高度逐渐降低时，卫星的线速度、向心加速度、周期都将发生变化。根据题意，正确答案为 A。
通过以上对圆周运动三大经典模型的解析，相信读者对圆周运动有了更深入的理解。在实际应用中，这些模型可以帮助我们更好地解决相关问题。