圆综合是初中数学中一个重要的知识点，它涉及到圆的证明与计算。为了帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容，本文将深入解析圆综合的八大模型，并探讨其在实际问题中的应用。
模型一：从圆外作圆的两条切线问题
1. 模型概述
此模型涉及从圆外一点作圆的两条切线，探讨切线与圆的关系以及相关的几何性质。
2. 关键点
- 切线与半径垂直。
- 切线长相等。
- 切线与半径构成的直角三角形相似。
3. 应用实例
【例1】（2012襄阳）如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，延长AO与O交于点C，连接BC，AF。
（1）求证：直线PA为O的切线； （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tanF=，求cosACB的值和线段PE的长。
模型二：从圆外作圆的一条切线和一条割线含垂直问题
1. 模型概述
此模型探讨圆外一点作切线和割线，涉及垂直关系和几何性质。
2. 关键点
- 切线与半径垂直。
- 割线与半径不垂直。
- 切线与割线交于圆外一点。
3. 应用实例
【例2】如图，AB为O的直径，半径OC_AB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结C。
模型三：圆的切线的判定
1. 模型概述
此模型探讨圆的切线判定条件。
2. 关键点
- 切线与半径垂直。
- 切线与圆相切。
- 切线与圆的位置关系。
3. 应用实例
【例3】（2011广安）如图所示，P是O外一点，PA是O的切线，A是切点，B是O上一点，且PAPB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q。
（1）求证：PB是O的切线； （2）求证：AQPQOQBQ； （3）设AOQ，若 ，OQ=15，求AB的长。
模型四：圆内接等边三角形
1. 模型概述
此模型探讨圆内接等边三角形的性质。
2. 关键点
- 三角形外接圆半径相等。
- 三角形内接圆半径相等。
- 等边三角形内角均为60度。
3. 应用实例
【例4】（2018·湖南常德）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使FDA，AE//BC交CF于E。
（1）求证：EA是O的切线； （2）求证：BDCF。
模型五：圆的割线定理
1. 模型概述
此模型探讨圆的割线定理，即割线乘积定理。
2. 关键点
- 割线乘积定理：割线所对圆周角相等。
- 割线与半径的关系。
3. 应用实例
【例5】如图，AB为O的直径，点C、D在O上，AC=4，BD=6，求CD的长度。
模型六：圆的相交定理
1. 模型概述
此模型探讨圆的相交定理，即相交圆的性质。
2. 关键点
- 相交圆的半径和圆心距离。
- 相交圆的弦和切线的关系。
3. 应用实例
【例6】如图，圆O1和圆O2相交于点A、B，圆O1的半径为5，圆O2的半径为8，求圆心O1O2的距离。
模型七：圆的切线长定理
1. 模型概述
此模型探讨圆的切线长定理，即切线长等于圆心到切点的距离。
2. 关键点
- 切线长定理：切线长等于圆心到切点的距离。
- 切线与半径的关系。
3. 应用实例
【例7】如图，圆O的半径为5，切线AB与圆相交于点C、D，求AC和BD的长度。
模型八：圆的割线定理的推论
1. 模型概述
此模型探讨圆的割线定理的推论，即相交圆的割线乘积定理。
2. 关键点
- 相交圆的割线乘积定理：相交圆的割线乘积相等。
- 相交圆的半径和圆心距离。
3. 应用实例
【例8】如图，圆O1和圆O2相交于点A、B，圆O1的半径为3，圆O2的半径为4，求圆心O1O2的距离。
通过以上对圆综合八大模型的深度解析与应用，相信读者已经对这一部分内容有了更深入的理解。在实际解题过程中，灵活运用这些模型，能够帮助我们更好地解决与圆有关的问题。