一、角平分线模型
（一）角平分线性质模型
辅助线：过点G作GE射线AC
A、例题
- 例题：如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，求点D到直线AB的距离。
解答：由角平分线性质，∠BAD=∠CAD。又因为∠CAB=90°，所以∠BAD=45°。在直角三角形ABD中，BD=4cm，AD=BD，所以AD=4cm。点D到直线AB的距离即为AD，故点D到直线AB的距离为4cm。
- 例题：如图，已知∠BAC=120°，∠ABC=34°，求证：AP平分∠BAC。
解答：由角平分线性质，∠PAB=∠PAC。又因为∠BAC=120°，所以∠PAB=∠PAC=60°。因此，AP平分∠BAC。
B、模型巩固
- 例题：如图，在四边形ABCD中，BC=AB，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：AC=180°。
解答：由角平分线性质，∠ABD=∠CBD。又因为BC=AB，所以四边形ABCD为等腰梯形。在等腰梯形中，对角线相等，即AC=BD。又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=90°。因此，AC=180°。
（二）角平分线垂线，等腰三角形必呈现
辅助线：延长ED交射线OB于F，过点E作EF射线OB
例1
例题：如图，在ABC中，∠BAC=3∠ABC，AD是∠BAC平分线，BEAD于F。
求证：
- ∠BEF=∠BAC
- BE/AC=AB/AC
解答：
- 由角平分线性质，∠BAD=∠CAD。又因为∠BAC=3∠ABC，所以∠BAD=∠CAD=90°。因此，∠BEF=∠BAC。
- 由三角形相似性质，△BEF∽△BAC。所以BE/AC=AB/AC。
例2
例题：如图，在ABC中，∠BAC角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CMAD交AD延长线于M。
求证：
- ∠BAM=∠CAD
- AM/AB=AC/AB
解答：
- 由角平分线性质，∠BAD=∠CAD。又因为AB=AD，所以∠BAM=∠CAD。
- 由三角形相似性质，△BAM∽△CAD。所以AM/AB=AC/AB。
（三）角平分线，分两边，对称全等要记全
两个图形辅助线都是在射线ON上取点B，使OB=OA，从而使∠OAC=∠OBC。
A、例题
- 例题：如图，在ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB=BP=BQ=AQ。
解答：由角平分线性质，∠PAB=∠PAC，∠BQA=∠BQC。又因为∠BAC=60°，∠C=40°，所以∠PAB=∠PAC=40°，∠BQA=∠BQC=20°。因此，AB=BP=BQ=AQ。
- 例题：如图，在ABC中，AD是∠BAC外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC大小，并说明理由。
解答：由外角平分线性质，∠PAD=∠PDC。又因为∠BAC外角平分线AD，所以∠PAD=∠PDC=∠BAC。因此，PBPC=ABAC。
B、模型巩固
- 例题：在ABC中，AB=AC，AD是∠BAC平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）。求证：AB=ACPB=PC。
解答：由角平分线性质，∠BAD=∠CAD。又因为AB=AC，所以∠BAM=∠CAM。因此，△BAM∽△CAM。所以AB=ACPB=PC。
- 例题：ABC中，AB=AC，A=100°，A平分线交AC于D，求证：ADB=DBC。
解答：由角平分线性质，∠BAD=∠CAD。又因为AB=AC，所以∠BAM=∠CAM。因此，△BAM∽△CAM。所以ADB=DBC。
- 例题：ABC中，BC=AC，C=90°，A平分线交BC于D，求证：AC=CDAB。
解答：由角平分线性质，∠CAD=∠DAB。又因为C=90°，所以∠CAD=45°。因此，∠DAB=45°。又因为BC=AC，所以△DAB为等腰直角三角形。所以AC=CDAB。
二、等腰直角三角形模型
（一）旋转中
1. 等线段共点
等边三角形共顶点。
2. 绕点型（手拉手模型）
（1）自旋转：
- 遇60°旋60°，构造等边三角形；
- 遇90°旋90°，构造等腰直角三角形；
- 遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；
- 遇中点180°，构造中心对称。共顶点等腰直角三角形；
- 共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形。
（2）共旋转模型变形
说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
3. 中点旋转（拓展）：
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形。