角平分线在几何学中是一个重要的概念，它将一个角平分为两个相等的角。掌握角平分线的四大模型，可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。以下是关于角平分线四大模型的详细介绍。
模型一：角平分线上的点向两边作垂线
基本思想
在角平分线上任意取一点，向角的两边作垂线，利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造条件。
模型分析
通过构造全等三角形，可以快速找到解题的突破口。
模型实例
例题1：在ABC中，C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，求点D到直线AB的距离。
- 解答：过点D作DE⊥AB于点E，由AD平分∠CAB，得CD=DE。因为BC=6，BD=4，所以DE=2，即点D到直线AB的距离是2。
例题2：在△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=30°，求证：AP平分∠BAC。
- 证明：过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E。由∠BAC=120°，∠ABC=30°，得∠APD=∠APE=30°。因此，PD=PE，即AP平分∠BAC。
模型二：截取构造对称全等
基本思想
在角平分线上任意取一点，截取角的两边，构造对称全等三角形。
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
模型实例
例题1：在△ABC中，AD是∠CAB的平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB和PC的大小，并说明理由。
- 解答：过点P作PB⊥AC于点B，PC⊥AB于点C。由AD平分∠CAB，得∠PBC=∠PCA。因此，△PBC和△PCA全等，所以PB=PC。
例题2：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求证：BD=CD。
- 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。由AB=AC，得∠ABD=∠ACD。因此，△ABD和△ACD全等，所以BD=CD。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
基本思想
在角的两边分别截取，然后在对角线上取任意一点，连接两截点，构造等腰三角形。
模型分析
通过构造等腰三角形，可以快速找到解题的突破口。
模型实例
例题1：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求证：BD=CD。
- 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。由AB=AC，得∠ABD=∠ACD。因此，△ABD和△ACD全等，所以BD=CD。
例题2：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求证：∠ADB=∠ADC。
- 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。由AB=AC，得∠ABD=∠ACD。因此，△ABD和△ACD全等，所以∠ADB=∠ADC。
模型四：角平分线平行线
基本思想
在角平分线上任意取一点，作角平分线的平行线，构造等腰三角形。
模型分析
通过构造等腰三角形，可以快速找到解题的突破口。
模型实例
例题1：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求证：BD=CD。
- 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。由AB=AC，得∠ABD=∠ACD。因此，△ABD和△ACD全等，所以BD=CD。
例题2：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求证：∠ADB=∠ADC。
- 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。由AB=AC，得∠ABD=∠ACD。因此，△ABD和△ACD全等，所以∠ADB=∠ADC。
通过以上对角平分线四大模型的介绍，相信大家已经对它们有了更深入的了解。掌握这些模型，可以帮助我们在解决几何问题时更加得心应手。