模型一：角平分线上的点向两边作垂线
基本原理
角平分线上的点到角的两边距离相等。通过构造垂线，我们可以利用这一性质，为证明边相等、角相等、三角形全等创造条件。
应用实例
- 例题1：已知AF是△ABC的角平分线，P是AF上任意一点。过点P作AB平行线交BC于点D，作AC的平行线交BC于点E。证明：点F到DP的距离与点F到EP的距离相等。
解答：过点P作PE∥AB交BC于点E，过点P作PF∥AC交BC于点F。由于PE∥AB，PF∥AC，根据平行线性质，∠PEF=∠BAC，∠PFE=∠ABC。又因为AF是△ABC的角平分线，所以∠BAF=∠CAF。根据角角边（AAS）全等条件，△PEF≌△BAF，从而得到EF=AF。同理可证EF=AF。因此，点F到DP的距离与点F到EP的距离相等。
- 拓展：如果点P在AF延长线上，结论依然成立。
模型二：截取构造对称全等
基本原理
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性可以把一些线段或角进行转移。
应用实例
- 例题2：在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB和PC与AB和AC的大小，并说明理由。
解答：作PE∥AC交AB于点E，作PF∥AB交AC于点F。由于PE∥AC，PF∥AB，根据平行线性质，∠APE=∠BAC，∠APF=∠ABC。又因为AD是△ABC的外角平分线，所以∠BAD=∠CAD。根据角角边（AAS）全等条件，△APE≌△CAD，△APF≌△BAC。从而得到PE=AC，PF=AB。因此，PB和PC与AB和AC的大小关系取决于点P的位置。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
基本原理
有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形。等腰三角形的性质可以帮助我们证明一些几何问题。
应用实例
- 例题3：在△ABC中，BE是角平分线，BE⊥AD于点D，求证：CD=BD。
解答：过点C作CE⊥AD于点E。由于BE⊥AD，CE⊥AD，所以∠BEC=∠CDE。又因为BE是角平分线，所以∠ABE=∠CBE。根据角角边（AAS）全等条件，△BEC≌△CDE。从而得到CD=BD。
模型四：角平分线平行线
基本原理
角平分线平行，必出等腰三角形。利用这一性质，可以证明一些几何问题。
应用实例
- 例题4：已知OC平分∠AOB，若过点P作PE∥OB交OA于点E，证明：△OEP为等腰三角形。
解答：由于OC平分∠AOB，所以∠COE=∠BOC。又因为PE∥OB，所以∠OEP=∠BOC。根据角角边（AAS）全等条件，△OEP≌△COE。从而得到PE=CE。同理可证OE=OE。因此，△OEP为等腰三角形。
通过以上四大模型，我们可以巧妙地证明一些几何问题。在实际解题过程中，灵活运用这些模型，可以帮助我们快速找到解题突破口。