在初中数学中，角平分线是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解角度关系，还能在解决几何问题时提供便捷的解题思路。以下是角平分线垂线的四大模型，通过这些模型，我们可以轻松掌握几何解题的秘诀。
模型一：角平分线上的点向两边作垂线
模型分析
在这个模型中，我们利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。通过构造垂线，我们可以为边相等、角相等、三角形全等创造更多条件，从而快速找到解题的突破口。
模型实例
- 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，BC=6cm，BD=4cm。求点D到直线AB的距离。
解答：过点D作DE垂直于AB，由于AD是∠BAC的平分线，根据角平分线性质，DE=CD。由勾股定理可得CD=√(BD²+BC²)=√(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13。因此，点D到直线AB的距离是2√13 cm。
- 已知∠ABC=1/2∠ACD，求证：AP平分∠BAC。
证明：作PD垂直于AC于点D，由于∠ABC=1/2∠ACD，根据角平分线性质，PD=AD。又因为PD垂直于AC，AD垂直于AC，所以PD=AD，即AP平分∠BAC。
模型二：截取构造对称全等
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例
- 在三角形ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，比较PB与PC与AB与AC的大小关系，并说明理由。
解答：作PE垂直于AC于点E，由于AD是∠BAC的外角平分线，根据角平分线性质，PE=PC。又因为PE垂直于AC，PC垂直于AC，所以PE=PC，即PB=PC。由于PE垂直于AC，AB=AC，所以PB=PC=AB=AC。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
模型分析
在角平分线上任意找一点P，过点P作角平分线的垂线交角的两条边与A、B。这样就构造出了一个等腰三角形AOB，即OAOB。这个模型还可以得到P是AB中点。
模型实例
- 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，H是BC的中点。求证：DH=1⁄2(AB-AC)。
证明：作DH垂直于BC于点H，由于AD是∠BAC的平分线，根据角平分线性质，DH=AH。又因为DH垂直于BC，AH垂直于BC，所以DH=AH。由于H是BC的中点，所以DH=1⁄2(AB-AC)。
模型四：角平分线平行线
模型分析
角平分线平行，必出等腰三角形。通过构造平行线，我们可以得到等腰三角形，从而为解题提供便利。
模型实例
- 在三角形ABC中，P是∠BAC的平分线上一点，过点P作PQ平行于AC，交BC于点Q。求证：∠APQ=∠BAC。
证明：由于PQ平行于AC，根据同位角相等，∠APQ=∠BAC。
通过以上四大模型，我们可以更好地理解和应用角平分线，从而在解决几何问题时更加得心应手。